Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos.

Conjunto: colección de elementos. 

Normalmente:

- Conjunto: letra minúscula.

- Elementos: letras minúsculas

Símbolo $\in$ (pertenece). Ejemplo: $x\in A$ 

Símbolo $\notin$ (no pertenece). Ejemplo: $y\notin A$

Un conjunto está definido cuando:

1. Se conocen con exactitud los elementos que le pertenecen.
2. Los elementos tienen una o más características comunes que los distinguen de otros elementos.

Ejemplo: el conjunto de los días de la semana se puede definir como:

S={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

En este caso cada elemento de este conjunto representa un día de la semana por lo que está claramente definido y cada elemento comparte la característica de ser un día de la semana. Por lo tanto este conjunto está bien definido. 

Cómo definir un conjunto:

• Por extensión o enumeración:nombrando todos los elementos que lo integran. 

Ejemplo: Conjunto S de los días de la semana:

S={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

• Por comprensión o propiedad: caracterizando al conjunto usando una propiedad o enunciado que permita afirmar si un elemento cualquiera pertenece o no al conjunto.

Ejemplo: Conjunto S de los días de la semana.  

S = { d / d es día de la semana}

 "El conjunto S está formado por los elementos d tales que d es día de la semana". 

Conjuntos infinitos: conjuntos para los que no es posible nombrar todos y cada uno de sus elementos. 

Ejemplo:

Definición por extensión o enumeración:  

$\mathbb{N} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5... \right \}$

"El conjunto de los números naturales es infinito". 

Definición por comprensión o propiedad: 

$\mathbb{N}$ = { n / n es un número natural}

"El conjunto de los números naturales está formado por todos los n tal que n es un número natural".

Conjunto vacío ($\varnothing$): carece de elementos.

Ejemplo: conjunto de elefantes que pueden volar. 
P = {x / x es un elefante y puede volar} = $\varnothing$

Como en la realidad no existen elefantes que puedan volar, este conjunto está vacío.  

Subconjuntos: B es un subconjunto de A cuando todo elemento de B pertenece a A. En este caso usamos el símbolo $\subset$ (incluido en): B $\subset$ A.

Ejemplo: Subconjunto de colores primarios. Este subconjunto está contenido en el conjunto de colores. Incluye los colores primarios: rojo, azul y amarillo.

P = colores primarios.
T = todos los colores.
P $\subset$ T

Conjunto de las partes de C P(C): conjunto formado por todos los subconjuntos S de un conjunto C, incluido el propio conjunto C y el conjunto vacío. 

$\forall C, C\in P(C) \wedge \varnothing \in P(C)$ "Para todo C, C pertenece al conjunto P(C) y el conjunto vacío pertenece a P(C)".

Ejemplo: C = {a,b} entonces el conjunto de las partes de C será:

P(C) = {{}, {a}, {b}, {a,b}, C}

nota: {} quiere decir conjunto vacío. 

Conjuntos iguales: los conjuntos M y N son iguales cuando todo elemento de M pertenece al conjunto N y todo elemento de N pertenece al conjunto M.

M = N

1) $x \in M \Rightarrow x \in N$

2) $x \in N \Rightarrow x \in M$

Dos conjuntos M y N son iguales si y solo si el primero está incluido en el segundo y recíprocamente. 

$M = N \Leftrightarrow M \subset N \wedge N \subset M$

Conjuntos disjuntos: no tienen ningún elemento común. 

Ejemplo: A = {b,c,d} ; B = {e,f,g}

A y B son conjuntos disjuntos.

 

Conjunto de referencia o universal (U): en él están contenidos todos los conjuntos que se manejen. 

Ejemplo: I = {1,3,5,7,...} El conjunto I contiene todos los números impares. Luego es un subconjunto de los números naturales:

$I \subset U = \mathbb{N}$ = {1,2,3,4,5,...}